kalman

    技术2022-05-12  8

     

      卡尔曼滤波器

     

     

     

     

     

     

     

     

         卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman,匈牙利数学家,1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953,1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。

         1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们在现代控制理论中要学习的卡尔曼滤波器,正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》(线性滤波与预测问题的新方法)。

         下面的描述,会涉及一些基本的概念知识,包括概率(Probability),随即变量(Random Variable),高斯或正态分配(Gaussian Distribution)还有State-space Model等等。     首先,我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程(Linear Stochastic Difference equation)来描述:

    X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)

    再加上系统的测量值:

    Z(k)=H X(k)+V(k)

         上两式子中,X(k)是k时刻的系统状态,U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数,对于多模型系统,他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值,H是测量系统的参数,对于多测量系统,H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise),他们的协方差分别是Q,R(这里我们假设他们不随系统状态变化而变化)。     对于满足上面的条件(线性随机微分系统,过程和测量都是高斯白噪声),卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的协方差来估算系统的最优化输出。     首先我们要利用系统的过程模型,来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k,根据系统的模型,可以基于系统的上一状态而预测出现在状态:

    X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)

         式(1)中,X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果,X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果,U(k)为现在状态的控制量,如果没有控制量,它可以为0。     到现在为止,我们的系统结果已经更新了,可是,对应于X(k|k-1)的协方差还没更新。我们用P表示协方差:

    P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)

         式(2)中,P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的协方差,P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的协方差,A’表示A的转置矩阵,Q是系统过程的协方差。式子1,2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个,也就是对系统的预测。     现在我们有了现在状态的预测结果,然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值,我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k):

    X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)

         其中Kg为卡尔曼增益:

    Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)

         到现在为止,我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束,我们还要更新k状态下X(k|k)的协方差:

    P(k|k)=(I-Kg(k) H)P(k|k-1) ……… (5)

         其中I 为1的矩阵,对于单模型单测量,I=1。当系统进入k+1状态时,P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样,算法就可以自回归的运算下去。卡尔曼滤波器的原理基本描述了,式子1,2,3,4和5就是他的5 个基本公式。

     


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