老虎与狗

    技术2022-05-12  2

    前几天,出了一题“猫与老鼠”,和“老虎与狗”是同一题。

    一只老虎追一条狗,眼看追到,狗跳进一圆形水池。      老虎不会水而狗会。      假设狗游到池边而老虎不正好在那一点,狗就能逃脱。      问:当老虎是狗(水中)的几倍速度时,狗就逃不掉?

    刚才看了本论坛的答案,看来大家对老虎在大圆跑,狗在小圆跑并没什么异议,大家对答案最有疑问的的地方,主要是假设了老虎往一个方向追,为什么狗往小圆的切线跑时,老虎只会尽量接近它,而不是掉头跑,可以近一些? 本人对这一疑问,有点心得,供大家探讨。 其实,狗一旦离开小圆,老虎的追逐方向就会确定。为便于讨论,我们不妨设圆心为O,小狗在小圆上的起跑点为A,此时老虎的位置为B,那么AOB应该是直线,延长AOB,交大圆与C,设小狗逃跑的最终目标位为D,设大圆半径为R,老虎的速度是小狗的X倍,则小圆的半径为R/X。从B引小圆的切线,交大圆于E。  为了便于说明问题,我们假设狗刚开始时,是从A向C方向跑,假设它跑了一小段路,跑到G,这时,老虎跑到F,显然角FOG<180度,然后狗决定往E方向跑,这时候,老虎即使知道狗的目的地,掉头跑可以近一些,它也不能掉头跑!!!如果老虎掉头的话,那么,随着时间的推移,老虎、圆心和狗的夹角会慢慢增大,直至180度!这时候,狗的位置在小圆外,即起跑点移到了小圆外,更有利于狗!因为我们假设狗也是非常聪明的,这时候,它又可以改变线路,老虎是陪了夫人又折兵,但毫无办法。所以老虎掉头跑是绝对不合算的,因此,狗跑出了小圆外,老虎的追击方向也就决定了。如果AG趋于无穷小,则实际上狗跑的是直线。 如果以上说法成立,老虎的追击方向不变的话,那么狗逃跑的方向根本无须变换,它自然可以选择有利的登陆点,以直线方式跑过去(但不能跑入小圆内),以求用最快的速度到达登录点。 设老虎的速度是狗的x倍,大圆半径为r,狗的速度为v,逃跑时圆心与狗连成的直线与登录点和圆心的连线所成的角为Q,则狗跑的距离s=r*根号(1+1/x^2-2cosQ/x), 所以(3.14+Q)r/(xv)=s/v, 得x=cos(Q)+根号((3.14159+Q)^2-(sinQ)^2) 这是一个关于Q的函数,求出最大值即可。用计算机求得最大值x=4.603 ,Q=1.352 这是一条切线。

    求出是切线后,又产生另一个问题,能不能超过切线方向?因狗不能跑入小圆内,需要考虑狗按螺旋线跑的距离和按小圆弧加切线跑的距离哪个更短。结果是按小圆弧加切线跑的距离最短。大家可以参考一下“搞脑筋”惑今先生的想法:这里有一个简单直观的思路:假设小圆是一个圆柱,从A拉出一条绳子,想在超过切线的任何位置,要取得最短距离,拉直绳子,只不过是从另一个起点的切线而已…… 因此最佳逃跑方案是按切线跑!

    那么能不能不求极值,在已知是按直线跑的情况下直接推导出按切线跑?

    本人的想法是求函数x=cos(Q)+根号((3.14159+Q)^2-(sinQ)^2)在Q0到90度之间是不是单调上升?可惜我大学学过的东西忘掉了,谁能帮忙证明一下?!!

    下面是惑今先生的证明方法,大家可以看看,有问题可以直接到搞脑筋虚拟城市去提问,我不负责解答。 设圆心为O,狗在小圆的点A,老虎在大圆的点B(AOB是直线——狗在最佳起点A);线OA交大圆于C,A的切线交大圆于D,取AD上AE使AE=AC,连EC,DC。(这时基本图形)

    首先讨论D以下的点,YOUJIAN已经讲得很清楚,这里有一个简单直观的思路:假设小圆是一个圆柱,从A拉出一条绳子,在D以下的任何位置,要想取得最短距离,拉直绳子,直不过是从另一个起点的切线而已……

    关键是讨论角DAC内的变化!这里有一个概念先搞清:在狗选择沿角DAC内任何一条线走之前,狗沿AC走时,狗的速度与老虎的速度之比为1/1+PAI, 只有当狗沿着角DAC内某条直线走而导致狗增加的路程与老虎增加的路程之比小于1/1+PAI时,狗改变路线才有意义,否则还不如不变,沿AC走划算。

    要搞清的第二个概念是:随着路线往D偏移,二者增加路程之比会越来越大(这一点随后证明),但只要增加路程之比不大于1/1+PAI,狗就可以继续往D偏移。(当然,如果能达到1/1+PAI是最划算的)

    然后看图,当OA比OC为1/1+PAI时,因AE=AC,DA小于OC,故:DE小于OA,则DE比DA大于1/1+PAI,而角DAC为直角,DC大于DA,即DE比DC小于1/1+PAI。老虎的实际路线是圆弧更大于DC!证明D点是可取的。

    而当在角DAC内时,(为方便讨论,各点字母不变)三角形DEC内DE比DC的值会更小,证明如下:由正弦定理可知,二者的比实际上是对角的正弦之比,当角DCE一定的情况下,角DEC越接近直角,比值越小,而随着角DAC的缩小,因为三角形AEC为等腰三角形,则角DEC会越来越接近直角,同时,角DCE也越来越小,二者的变化,直接导致角DCE和角DEC的正弦之比以更快的速度越来越小!换句话说,DE和DC的比值也越来越小!

    此时,当然角DAC越大越好,只是由于条件所限,只能为直角!

    证毕。

    这片文章的题目是“关于逻辑推出切线方向的问题(答城市雨中)”

    我相关论点的题目是“旧版难题征解:老虎和狗的故事(喜鹊)”,本人youjian

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