牛顿真是牛，拉格朗日插值法只能算是数学意义上的插值，从插值基函数的巧妙选取，已经构造性的证明了插值法的存在性和惟一性，但是从实现的角度看并不很好，而牛顿很好的解决了这个问题。
牛顿插值是基于下面这些的公式：
f[x0,x1,...xk]=(f[x1,...xk]-f[x0,...xk-1])/(xk-x0)f[x]=f(x)f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)
前两个是均差的递推关系式，而后一个就是牛顿插值公式，其中N(x)=f(x)-Rn(x)，即目标多项式，Rn(x)是n阶插值余项，我们就是用N(x)去近似f(x)。
可以构造这样一个均方差表：
xk f(xk) 一阶均差 二阶均差 ...x0 f(x0)x1 f(x1) f[x0,x1]x2 f(x2) f[x1,x2] f[x0,x1,x2]...
如果有n个点插值，表会有(n*n)/2+n个表项，如果直接编程会有O(n*n)的空间复杂度，编程时做个简单的改进，不难发现在这个表中只有部分数据有用，对角线（斜行）它们是目标值，用来表示多项式的，左边的两纵行（实际上只需要x一行）以及最底下的一行，表示当前插值的状态。经过改进后只需要O(n)的空间复杂度。
两个过程：1，新增加一个点时的更新。只须更新最底下一行数据，其递推关系由均差公式给出，最后算出高一队的均差值，需时O(n)2，插入点完成后如何计算多项式在另外给定点的值N(x)。由牛顿插值公式，最终的表达式为：N(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)如果直接将它展开，再算实在麻烦，实际上大可不必这样做，还记得多项式求值的秦九韶算法吗？将多项式‘叠’起来，从内层括号往外一层层拨开，n次多项多的计算，只需要做n次乘法，同样的思想，将上式改写成：N(x)=f[x0]+(x-x0){f[x0,x1]+(x-x1){f[x0,x1,x2]+(x-x2){...{f[x0,...xn-1]+(x-xn-1)f[x0,...xn]}...}就可以同样简单的计算了，时间复杂度O(n)
综合起来的性能：对于n个点的插值，产生多项式的时间复杂度是O(n*n)，最终进行一个点的计算的时间复杂度是O(n)。
C++代码实现// file: newton.h#ifndef NEWTON_DEF_#define NEWTON_DEF_class CNewton{ double *f[2]; double *x; int max; int n;public: CNewton(int MaxN);//MaxN 为最大插值点数 可任意设定 ~CNewton(); void InsertPoint(double X,double Y); double GetValue(double X);};#endif
// file: newton.cpp#include "newton.h"#include "assert.h"#include "math.h"#ifndef NULL#define NULL 0#endifCNewton::CNewton(int MaxN){ max=MaxN+1; n=0; x=new double[max]; f[0]=new double[max]; f[1]=new double[max]; assert(x!=NULL); assert(f[0]!=NULL); assert(f[1]!=NULL);}CNewton::~CNewton(){ if(x) delete[]x; if(f[0]) delete[]f[0]; if(f[1]) delete[]f[1];}void CNewton::InsertPoint(double X,double Y){ int i; double fw; assert(n<max); //重复点检查 for(i=0;i<n;++i) if(fabs(X-x[i])<1e-5) return; //如果确保不会有重复点可删去上面语句 x[n]=X; fw=Y; for(i=1;i<=n;++i) { double tmp=fw; fw=(fw-f[1][i-1])/(x[n]-x[n-i]); f[1][i-1]=tmp; } f[0][n]=f[1][n]=fw; n++;}double CNewton::GetValue(double X){ if(n==0) return 0.0; double s=f[0][n-1]; for(int i=n-2;i>=0;--i) { s=s*(X-x[i])+f[0][i]; } return s;}
// file: test cpp#include "newton.h"#include "iostream.h"int main(void){ int n; double x,y; CNewton nt(20); cout<<"输入插入点个数(n<=20)/nn="; cin>>n; for(int i=1;i<=n;++i) { cout<<"输入第"<<i<<"个点/nx="; cin>>x; cout<<"y="; cin>>y; nt.InsertPoint(x,y); } while(1) { cout<<"计算N(x)/nx="; cin>>x; cout<<"N("<<x<<")=/n"<<nt.GetValue(x)<<endl; if(x==0.0) break; } return 0;}
