1.问题描述
把2010分解为若干个互不相同的正整数之和，使这些互不相同的正整数之积最大。
2.设计要点
进行一般化处理，把指定正整数n分解为若干个互不相同的正整数之和，使这些互不相同的正整数之积最大。
设使积最大的化零分解中，最小零数为c，最大零数为d。
⑴c>1。若c=1，去掉零数1，把1加至最大零数，显然积会增大。
⑵零数按由小到大排列，从c到d的零数序列中，中间的空数（不在零数序列中的数）不能多于1个。
设序列中有两个空数x、y，满足a(i)<x<y<a(j)，其中a(i)、a(j)为零数序列中的项(i<j)，x=a(i)+1，y=a(j)-1。因a(i)+a(j)=x+y，而
a(j)>a(i)+1 => x*y = (a(i)+1)*(a(j)-1) > a(i)*a(j)
即把a(i)、a(j)两个零数分别换成x、y后，和不变而积增加，与所设各人最大矛盾。
⑶c<4，即c只能取2、3。
若c=4，此时若5在序列中，把5化为2+3，积增加；若5不在序列中而6在序列中，把4、6化为2、3、5，显然和不变而积增加；若5、6都不在序列中，与上述⑵矛盾。
若c>4，把c化为2与c-2，显然2(c-2)>c，积增加。
因此，把指定的n转化为以2或3开始的连续的或至多一个空数的正整数序列，相应的积达最大。
3.代码实现
#include "stdafx.h" #include <math.h> // 积最大的整数分解程序设计 int main(void) { int a, c, d, h, k, n, s; double t; printf("把正整数n分解为若干个互不相同的正数数之和，使积最大。/n"); printf("请输入正整数n："); scanf("%d", &n); s = 0; h = 0; a = 1; while (s <= n) { // 此时s-n可能为1,2,...,a a++; s += a; } if (s - n == a) { // n分解为2至a-1的连续序列 c = 2; d = a - 1; } else if (s - n == 2) { // n分解为3至a的连续序列 c = 3; d = a; } else if (s - n == 1) { // n分解为3至a+1（不含a） c = 3; d = a + 1; h = a; } else { // n分解为2至a（不含s-n） c = 2; d = a; h = s - n; } printf("%d分解为：%d--%d", n, c, d); if (h > 0) printf("（不包含其中的数%d）", h); printf("/n其积最大为："); t = 1; for (k = c; k <= d; k++) t *= k; if (h > 0) t /= h; printf("%.0f/n", t); return 0; }
