1.Dijkstra1)适用条件&范围：a)单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);b)有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图)c)所有边权非负(任取(i,j)∈E都有Wij≥0);2)算法描述：a)初始化：dis[v]=maxint(v∈V,v≠s); dis[s]=0; pre[s]=s; S={s};b)For i:=1 to n1.取V-S中的一顶点u使得dis[u]=min{dis[v]|v∈V-S}2.S=S+{u}3.For V-S中每个顶点v doRelax(u,v,Wu,v)c)算法结束：dis[i]为s到i的最短距离；pre[i]为i的前驱节点3)算法优化： 使用二叉堆(Binary Heap)来实现每步的DeleteMin(ExtractMin，即算法步骤b中第1步)操作，算法复杂度从O(V^2)降到O((V+E)㏒V)。推荐对稀疏图使用。 使用Fibonacci Heap(或其他Decrease操作O(1),DeleteMin操作O(logn)的数据结构)可以将复杂度降到O(E+V㏒V)；如果边权值均为不大于C的正整数，则使用Radix Heap可以达到O(E+V㏒C)。但因为它们编程复杂度太高，不推荐在信息学竞赛中使用。注：程序使用二叉堆程序：program mtx_grp;const num=10; max=10000;type grp=array[1..num,1..num] of integer; rcd=set of 1..num; arr=array[1..num] of integer; arr2=array[1..num] of rcd;vari,j,w,m,n,e,k:integer;g:grp;visited:array[1..num] of boolean;path:arr2;dist,s:arr;procedure createmtx; var i,j,k:integer; begin for i:=1 to n do for j:=1 to n do g[i,j]:=max; for k:=1 to e do begin readln(i,j,w); g[i,j]:=w; g[j,i]:=w; end; end;procedure print( g:grp); begin for i:=1 to n do begin for j:=1 to n do if g[i,j]=max then write('oo':4) else write(g[i,j]:4); writeln; end; end;procedure dijkstra(var dist:arr;var path:arr2;i:integer); begin e:=i; for j:=1 to n do begin if j<>i then s[j]:=0 else s[j]:=1; dist[j]:=g[i,j]; if dist[j]<max then path[j]:=[i]+[j] else path[j]:=[]; end; for k:=1 to n-2 do begin w:=max;m:=i; for j:=1 to n do if (s[j]=0) and (dist[j]<w) then begin m:=j;w:=dist[j];end; if m<>i then s[m]:=1 else exit; for j:=1 to n do if (s[j]=0) and (dist[m]+g[m,j]<dist[j]) then begin dist[j]:=dist[m]+g[m,j]; path[j]:=path[m]+[j]; end; end; for i:=1 to n do if i<>e then begin for j:=1 to n do if j in path[i] then write(j:3); writeln('w=':4,dist[i]); end; end;begin assign(input,'nodelst5.in'); reset(input); readln(n,e); createmtx; writeln; readln(i); dijkstra(dist,path,i); writeln;end.2.Floyd-Warshall1)适用范围：a)APSP(All Pairs Shortest Paths)b)稠密图效果最佳c)边权可正可负2)算法描述：a)初始化：dis[u,v]=w[u,v]b)For k:=1 to nFor i:=1 to n For j:=1 to n If dis[i,j]>dis[i,k]+dis[k,j] Then Dis[I,j]:=dis[I,k]+dis[k,j];c)算法结束：dis即为所有点对的最短路径矩阵3)算法小结：此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。时间复杂度O(n^3)。考虑下列变形：如(I,j)∈E则dis[I,j]初始为1,else初始为0，这样的Floyd算法最后的最短路径矩阵即成为一个判断I,j是否有通路的矩阵。更简单的，我们可以把dis设成boolean类型，则每次可以用“dis[I,j]:=dis[I,j]or(dis[I,k]and dis[k,j])”来代替算法描述中的蓝色部分，可以更直观地得到I,j的连通情况。与Dijkstra算法类似地，算法中蓝色的部分可以加上对Pre数组的更新，不再赘述。4)程序（直接写上的。或许有小错误）program floydvar i,j,k,n,m:longint;leng:array[0..1001,0..1001]of longint;beginreadln(n);for i:=1 to n dobegin for j:=1 to n doread(a[i,j]);readln;end;
for k:=1 to n do
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if leng[i,k]+leng[k,j]<leng[i,j] then
begin
leng[i,j]:=leng[i,k]+leng[k,j];
end;
end.
3.Prim1)适用范围：a)MST(Minimum Spanning Tree,最小生成树)b)无向图(有向图的是最小树形图)c)多用于稠密图2)算法描述：a)初始化：dis[v]=maxint(v∈V,v≠s); dis[s]=0; pre[s]=s; S={s};tot=0b)For i:=1 to n1.取顶点v∈V-S使得W(u,v)=min{W(u,v)|u∈S,v∈V-S,(u,v)∈E}2.S=S+{v};tot=tot+W(u,v);输出边(u,v)3.For V-S中每个顶点v doRelax(u,v,Wu,v)c)算法结束：tot为MST的总权值注意：这里的Relax不同于求最短路径时的松弛操作。它的代码如下：procedure relax(u,v,w:integer); //松弛操作begin if w<dis[v] then begin pre[v]:=u; dis[v]:=w; end;end; 可以看到，虽然不同，却也十分相似。3)算法优化： 使用二叉堆(Binary Heap)来实现每步的DeleteMin(ExtractMin)操作算法复杂度从O(V^2)降到O((V+E)㏒V)。推荐对稀疏图使用。 使用Fibonacci Heap可以将复杂度降到O(E+V㏒V)，但因为编程复杂度太高，不推荐在信息学竞赛中使用。 （不要问我为什么和Dijkstra一样……观察我的prim和dijkstra程序，会发现基本上只有relax和输出不一样……）程序：program mintree_prim(input);const maxn=100;var a:array[1..maxn,1..maxn]of integer; b:array[1..maxn]of boolean; d:array[1..maxn]of integer; n,tot,i,j,k,min:integer; begin assign(input,'prim.in'); reset(input); tot:=0; readln(n); for i:=1 to n do b[i]:=true; b[1]:=false; for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin read(a[i,j]); if a[i,j]=-1 then a[i,j]:=maxint; end; for i:=2 to n do d[i]:=a[1,i]; for i:=1 to n-1 do begin min:=maxint; for j:=1 to n do if(b[j])and(d[j]<min)then begin k:=j; min:=d[j]; end; tot:=tot+d[k]; b[k]:=false; for j:=1 to n do if(b[j])and(d[j]>a[k,j])then d[j]:=a[k,j]; end; writeln(tot); close(input); end.4.Topological Sort(拓扑排序) 1)适用条件&范围：a)AOV网(Activity On Vertex Network);b)有向图;c)作为某些算法的预处理过程(如DP)2)算法描述：很简单的算法：每次挑选入度为0的顶点输出(不计次序)。如果最后发现输出的顶点数小于|V|，则表明有回路存在3)算法实现：a)数据结构： adj:邻接表;有4个域{u,v,w,next}indgr[i]:顶点i的入度;stack[]:栈b)初始化:top=0 (栈顶指针)c)将初始状态所有入度为0的顶点压栈d)I=0 (计数器)e)While栈非空(top>0) do i.顶点v出栈；输出v；计数器增1； ii.For 与v邻接的顶点u do1.dec(indgr[u]);2.Ifindgr[u]=0then 顶点u入栈f)EXIT(I=|V|)简单&高效&实用的算法。上述实现方法复杂度O(V+E)4)程序：
{
有向图的拓扑排序
每次找入度为0的顶点入栈
成功返回true,有环返回false
总复杂度O(n+e)
}
const maxn=100;type link=^node; node=record v,w :integer; next :link; end; arr=array[1..maxn]of 1..maxn;var adj :array[1..maxn]of link; //邻接表 tsort,indgr :arr; //拓扑序列;入度 n,s,i :integer;procedure init;var u,v,w :integer; p :link;begin assign(input,'g.in');reset(input); readln(n,s); while not eof do begin readln(u,v,w); new(p); p^.v:=v;p^.w:=w; p^.next:=adj[u]; adj[u]:=p; inc(indgr[v]) end;end;
function toposort(indgr:arr):boolean;var i,top :integer; p :link; stack :array[1..maxn]of integer;begin top:=0; for i:=1 to n do if indgr[i]=0 then begin inc(top); stack[top]:=i end; i:=0; while top>0 do begin inc(i); tsort[i]:=stack[top]; dec(top); p:=adj[tsort[i]]; while p<>nil do begin dec(indgr[p^.v]); if indgr[p^.v]=0 then begin inc(top); stack[top]:=p^.v end; p:=p^.next; end; end; exit(i=n)end;
{===========main===========}begin init; if toposort(indgr) then for i:=1 to n do write(tsort[i],' ') else writeln('A circle found')end.
5.Kruskal1)适用范围：a)MST(Minimum Spanning Tree,最小生成树)b)无向图(有向图的是最小树形图)c)多用于稀疏图d)边已经按权值排好序给出2)算法描述：基本思想：每次选不属于同一连通分量(保证无圈)且边权值最小的2个顶点，将边加入MST，并将所在的2个连通分量合并，直到只剩一个连通分量3)算法实现：a)将边按非降序排列(Quicksort,O(E㏒E))b)While 合并次数少于|V|-1 i.取一条边(u,v)(因为已经排序，所以必为最小) ii.Ifu,v不属于同一连通分量then1)合并u,v所在的连通分量2)输出边(u,v)3)合并次数增1；tot=tot+W(u,v)c)算法结束：tot为MST的总权值4)分析总结：检查2个顶点是否在同一连通分量可以使用并查集实现(连通分量看作等价类)。我们可以看到，算法主要耗时在将边排序上。如果边已经按照权值顺序给出，那太棒了……另外一种可以想到的实现方法为：O(n)时间关于边权建二叉小根堆；每次挑选符合条件的边时使用堆的DelMin操作。这种方法比用Qsort预排序的方法稍微快一些，编程复杂度基本一样。附程序。另外，如果边权有一定限制，即<=某常数c，则可以使用线性时间排序以获得更好的时间效率。5)程序：
program kruskal;type arr=array[0..100,1..3]of longint;var n,m,i,j,k,min,vt:longint; s,t:array[0..100]of longint; g:arr;procedure heap(var r:arr;nn,ii:longint);var fr,en,i,j,x:longint;begin i:=ii;x:=r[i,3]; fr:=r[i,1];en:=r[i,2];j:=2*ii; while j<=nn do begin if (j<nn)and(r[j,3]<r[j+1,3]) then inc(j); if x<r[j,3] then begin r[i,3]:=r[j,3];r[i,2]:=r[j,2];r[i,1]:=r[j,1]; i:=j;j:=2*i; end else j:=nn+1; end; r[i,3]:=x; r[i,2]:=en;r[i,1]:=fr; end;
begin assign(input,'kruskal.in'); reset(input); readln(n,m); for i:=1 to m do readln(g[i,1],g[i,2],g[i,3]); for i:=m div 2 downto 1 do heap(g,m,i); for i:= m downto 2 do begin k:=g[i,1];g[i,1]:=g[1,1];g[1,1]:=k; k:=g[i,2];g[i,2]:=g[1,2];g[1,2]:=k; k:=g[i,3];g[i,3]:=g[1,3];g[1,3]:=k; heap(g,i-1,1); end; fillchar(s,sizeof(s),0); fillchar(t,sizeof(t),0); vt:=0; for i:=1 to n-1 do begin min:=maxlongint; { k:=0; } for j:=1 to m do if s[j]=0 then if((t[g[j,1]]=0)xor(t[g[j,2]]=0))or(i=1)then if g[j,3]<min then begin min:=g[j,3]; k:=j; break; end; s[k]:=1; t[g[k,1]]:=1; t[g[k,2]]:=1; vt:=vt+min; end; for i:=1 to m do if s[i]=1 then begin writeln(g[i,1],'->',g[i,2]); end; writeln(vt);end.
