编程之美3.8 求二叉树中节点的最大距离

转自：http://www.cnblogs.com/miloyip/archive/2010/02/25/1673114.html

问题定义

如果我们把二叉树看成一个图，父子节点之间的连线看成是双向的，我们姑且定义"距离"为两节点之间边的个数。写一个程序求一棵二叉树中相距最远的两个节点之间的距离。

书上的解法

书中对这个问题的分析是很清楚的，我尝试用自己的方式简短覆述。

计算一个二叉树的最大距离有两个情况:

情况A: 路径经过左子树的最深节点，通过根节点，再到右子树的最深节点。 情况B: 路径不穿过根节点，而是左子树或右子树的最大距离路径，取其大者。

只需要计算这两个情况的路径距离，并取其大者，就是该二叉树的最大距离。

我也想不到更好的分析方法。

但接着，原文的实现就不如上面的清楚 (源码可从这里下载):

01// 数据结构定义 02struct NODE 03{ 04    NODE* pLeft;        // 左子树 05    NODE* pRight;       // 右子树 06    int nMaxLeft;       // 左子树中的最长距离 07    int nMaxRight;      // 右子树中的最长距离 08    char chValue;       // 该节点的值 09}; 10   11int nMaxLen = 0; 12   13// 寻找树中最长的两段距离 14void FindMaxLen(NODE* pRoot) 15{ 16    // 遍历到叶子节点，返回 17    if(pRoot == NULL) 18    { 19        return; 20    } 21   22    // 如果左子树为空，那么该节点的左边最长距离为0 23    if(pRoot -> pLeft == NULL) 24    { 25        pRoot -> nMaxLeft = 0;  26    } 27   28    // 如果右子树为空，那么该节点的右边最长距离为0 29    if(pRoot -> pRight == NULL) 30    { 31        pRoot -> nMaxRight = 0; 32    } 33   34    // 如果左子树不为空，递归寻找左子树最长距离 35    if(pRoot -> pLeft != NULL) 36    { 37        FindMaxLen(pRoot -> pLeft); 38    } 39   40    // 如果右子树不为空，递归寻找右子树最长距离 41    if(pRoot -> pRight != NULL) 42    { 43        FindMaxLen(pRoot -> pRight); 44    } 45   46    // 计算左子树最长节点距离 47    if(pRoot -> pLeft != NULL) 48    { 49        int nTempMax = 0; 50        if(pRoot -> pLeft -> nMaxLeft > pRoot -> pLeft -> nMaxRight) 51        { 52            nTempMax = pRoot -> pLeft -> nMaxLeft; 53        } 54        else 55        { 56            nTempMax = pRoot -> pLeft -> nMaxRight; 57        } 58        pRoot -> nMaxLeft = nTempMax + 1; 59    } 60   61    // 计算右子树最长节点距离 62    if(pRoot -> pRight != NULL) 63    { 64        int nTempMax = 0; 65        if(pRoot -> pRight -> nMaxLeft > pRoot -> pRight -> nMaxRight) 66        { 67            nTempMax = pRoot -> pRight -> nMaxLeft; 68        } 69        else 70        { 71            nTempMax = pRoot -> pRight -> nMaxRight; 72        } 73        pRoot -> nMaxRight = nTempMax + 1; 74    } 75   76    // 更新最长距离 77    if(pRoot -> nMaxLeft + pRoot -> nMaxRight > nMaxLen) 78    { 79        nMaxLen = pRoot -> nMaxLeft + pRoot -> nMaxRight; 80    } 81}

这段代码有几个缺点:

算法加入了侵入式(intrusive)的资料nMaxLeft, nMaxRight 使用了全局变量 nMaxLen。每次使用要额外初始化。而且就算是不同的独立资料，也不能在多个线程使用这个函数 逻辑比较复杂，也有许多 NULL 相关的条件测试。

我的尝试

我认为这个问题的核心是，情况A 及 B 需要不同的信息: A 需要子树的最大深度，B 需要子树的最大距离。只要函数能在一个节点同时计算及传回这两个信息，代码就可以很简单:

01#include <iostream> 02   03using namespace std; 04   05struct NODE 06{ 07    NODE *pLeft; 08    NODE *pRight; 09}; 10   11struct RESULT 12{ 13    int nMaxDistance; 14    int nMaxDepth; 15}; 16   17RESULT GetMaximumDistance(NODE* root) 18{ 19    if (!root) 20    { 21        RESULT empty = { 0, -1 };   // trick: nMaxDepth is -1 and then caller will plus 1 to balance it as zero. 22        return empty; 23    } 24   25    RESULT lhs = GetMaximumDistance(root->pLeft); 26    RESULT rhs = GetMaximumDistance(root->pRight); 27   28    RESULT result; 29    result.nMaxDepth = max(lhs.nMaxDepth + 1, rhs.nMaxDepth + 1); 30    result.nMaxDistance = max(max(lhs.nMaxDistance, rhs.nMaxDistance), lhs.nMaxDepth + rhs.nMaxDepth + 2); 31    return result; 32}

计算 result 的代码很清楚；nMaxDepth 就是左子树和右子树的深度加1；nMaxDistance 则取 A 和 B 情况的最大值。

为了减少 NULL 的条件测试，进入函数时，如果节点为 NULL，会传回一个 empty 变量。比较奇怪的是 empty.nMaxDepth = -1，目的是让调用方 +1 后，把当前的不存在的 (NULL) 子树当成最大深度为 0。

除了提高了可读性，这个解法的另一个优点是减少了 O(节点数目) 大小的侵入式资料，而改为使用 O(树的最大深度) 大小的栈空间。这个设计使函数完全没有副作用(side effect)。

测试代码

以下也提供测试代码给读者参考 (页数是根据第7次印刷，节点是由上至下、左至右编号):

01void Link(NODE* nodes, int parent, int left, int right) 02{ 03    if (left != -1) 04        nodes[parent].pLeft = &nodes[left];  05   06    if (right != -1) 07        nodes[parent].pRight = &nodes[right]; 08} 09   10void main() 11{ 12    // P. 241 Graph 3-12 13    NODE test1[9] = { 0 }; 14    Link(test1, 0, 1, 2); 15    Link(test1, 1, 3, 4); 16    Link(test1, 2, 5, 6); 17    Link(test1, 3, 7, -1); 18    Link(test1, 5, -1, 8); 19    cout << "test1: " << GetMaximumDistance(&test1[0]).nMaxDistance << endl; 20   21    // P. 242 Graph 3-13 left 22    NODE test2[4] = { 0 }; 23    Link(test2, 0, 1, 2); 24    Link(test2, 1, 3, -1); 25    cout << "test2: " << GetMaximumDistance(&test2[0]).nMaxDistance << endl; 26   27    // P. 242 Graph 3-13 right 28    NODE test3[9] = { 0 }; 29    Link(test3, 0, -1, 1); 30    Link(test3, 1, 2, 3); 31    Link(test3, 2, 4, -1); 32    Link(test3, 3, 5, 6); 33    Link(test3, 4, 7, -1); 34    Link(test3, 5, -1, 8); 35    cout << "test3: " << GetMaximumDistance(&test3[0]).nMaxDistance << endl; 36   37    // P. 242 Graph 3-14 38    // Same as Graph 3-2, not test 39   40    // P. 243 Graph 3-15 41    NODE test4[9] = { 0 }; 42    Link(test4, 0, 1, 2); 43    Link(test4, 1, 3, 4); 44    Link(test4, 3, 5, 6); 45    Link(test4, 5, 7, -1); 46    Link(test4, 6, -1, 8); 47    cout << "test4: " << GetMaximumDistance(&test4[0]).nMaxDistance << endl; 48}