1.标量

标量只有大小没有方向。

2.矢量

矢量既有大小又有方向。

3.常用举例：

物理上常用的矢量与标量的对应概念有:速度和速率；距离和位移等。如图：距离：假设A到B的距离为a，B到C的距离为b，C到D的距离为c；那么A到D的距离就为a+b+c。

位移：假设A到B的位移为a，B到C的位移为b，C到D的位移为c；那么A到D的位移大小为|a+b+c|（数学上也叫a+b+c的模），方向是从A指向D。

4.计算机中矢量的表示：

//2D Vector struct Vector2D { float x, y; } //3D Vector struct Vector3D { float x, y, z; } 

 

游戏开发中的数学和物理算法（11）：极坐标 vs 笛卡尔坐标

在1D的系统中利用正负去表示矢量是足够的，但是在2D和3D的系统中利用正负去表示矢量就不是很足够了。但是如果用极坐标系统去表示的话，就会比较直观。

极坐标表示矢量：矢量 Ā=||A||@ θ   （||A||代表大小， θ代表方向）笛卡尔坐标表示矢量：   （i代表x的方向，j代表y的方向）

极坐标和笛卡尔坐标相互转换：

  b₁=||B||*cosθ   b₂=||B||*sinθ  θ=tan^-1(b₂/b₁)

2D和3D矢量的矩阵表示形式：2D：A=2i+3j的矩阵表示为[2,3]或者3D：A=2i+3j+4k矩阵表示为[2,3,4]或者

游戏开发中的数学和物理算法（12）：矢量的加减法

一个矢量，它的几何图形的表示为一个带箭头的线段，线段大小为矢量的大小（矢量的模），箭头的方向为矢量的方向。如图：矢量的可以用平行四边形法则来进行计算。如下图，虚线表示的B和实线表示的B是等价的，即我们认为是相等的。矢量的加法计算如图  设A=a₁i+a₂j , B=b₁i+b₂j那么A+B=(a₁+b₁)i+(a₂+b₂)j

一些性质：矢量A和B，A+B=B+A|A+B|不等于|A|+|B|。

矢量的减法，我们可以把A-B看成A+(-B)。如图。设A=a₁i+a₂j , B=b₁i+b₂j那么A-B=(a₁-b₁)i+(a₂-b₂)j

计算举例：

正则化矢量：

=========================================================================

 

游戏开发中的数学和物理算法（13）：点积和叉积

代数中的乘法应称为数乘,比如2×3=6，2·3=6。但是在几何中2·3为点积，2×3为叉积。

1.点积

A·B=|A| |B| cosq

2D:定义矢量A[a₁,a₂]，矢量B[b₁,b₂] ；那么点积A·B=a₁b₁+a₂b₂。

3D:定义矢量A[a₁,a₂,a₃]，矢量B[b₁,b₂,b₃] ；那么点积A·B=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃。

性质：如果A·B = 0, 那么A┴B。A·B = B· A。如果 A·B < 0 (负), 那么q > 90°如果 A·B > 0 (正), 那么q < 90°

举例：C · D=5(6) + 3(–2) = 30 – 6 = 24

2.叉积

矢量A = [a₁ a₂ a₃] 和矢量 B = [b₁ b₂ b₃]。

A x B = [(a₂b₃ – a₃b₂) (a₃b₁ – a₁b₃) (a₁b₂ – a₂b₁)]

性质：叉积是矢量（有大小和方向）。A x B 不等于 B x A。A × B=0说明A和B平行。|A×B|=|A||B|sinq

--------------------------------------------------------

 

游戏开发中的数学和物理算法（14）：矩阵的相等和转置

矩阵通常在游戏处理表示有行和列的数据。只有一行的矩阵，我们可以将其看成一个矢量。

数学表示：如图

在计算机中的表示：

矩阵的在计算机中通常有一个二维数组来表示。下面是一个三行三列的矩阵。

struct Matrix3X3 { float x[3][3]; }  

 

矩阵相等：

矩阵的行数和列数相等，并且对应行列的数值也要相等。

计算机判定实现两矩阵是否相等。

bool areMatricesEqual(Matrix3X3 a, Matrix3X3 b) { int errorFlag = 0; for(int i = 0;i<3;i++) { for(int j=0;j<3;j++) { if((a.index[i][j]) != (b.index[i][j])) errorFlag = 1; } } //test for an error in equality. if(errorFlag == 1) return false; else return true; } 

 

矩阵的转置数学表示

矩阵的转置的计算机中的实现

Matrix4X4 transpose4X4Matrix(Matrix4X4 a) { Matrix4X4 temp; for(int i = 0;i<4;i++) { for(int j=0;j<4;j++) { temp.index[i][j] = a.index[j][i]; } } return temp; } 

 

===================================================

 

游戏开发中的数学和物理算法（15）：矩阵的加减法

矩阵加法数学表示

矩阵减法数学表示：

计算机中矩阵加法的实现：

Matrix3X3 addMatrices(Matrix3X3 a, Matrix3X3 b) { Matrix3X3 temp; for(int i = 0;i<3;i++) { for(int j=0;j<3;j++) { temp.index[i][j] = (a.index[i][j] + b.index[i][j]); } } return temp; } 

 

计算机中矩阵减法的实现：

Matrix4X4 subtractMatrices(Matrix4X4 a, Matrix4X4 b) { Matrix4X4 temp; for(int i = 0;i<4;i++) { for(int j=0;j<4;j++) { temp.index[i][j] = (a.index[i][j] - b.index[i][j]); } } return temp; } 

 

============================================

 

游戏开发中的数学和物理算法（16）：矩阵的乘法

矩阵数乘数学形式：

计算机中矩阵数乘的实现：

Matrix3X3 scalarMultiply(Matrix3X3 a, float scale) { Matrix3X3 temp; for(int i = 0;i<3;i++) { for(int j=0;j<3;j++) { temp.index[i][j] = (a.index[i][j] * scale); } } return temp; } 

 

矩阵的乘法：

计算机中矩阵乘法的实现：

Matrix3X1 multiplyMatrixNxM(Matrix3X3 a, Matrix3X1 b) { Matrix3X1 temp; temp.index[0] = 0.0f; temp.index[1] = 0.0f; temp.index[2] = 0.0f; for(int i=0;i<3;i++) { for(int j=0;j<3;j++) { temp.index[i] += (a.index[i][j] * b.index[j]); } } return temp; } 

 

==============================

 

游戏开发中的数学和物理算法（17）：平移

点的平移，可以通过矩阵相加和相乘来模拟。

2D加法平移：

例如：点A(20,30)，向右移50个像素，向下移100个像素，得到A'。那么A'(70,-70)。

3D加法平移：

例如：

计算机中实现：

Matrix3X1 translate3DByAddition(Matrix3X1 start, Matrix3X1 trans) { Matrix3X1 temp; temp = addMatrices(start,trans); return temp; } 

 

2D乘法平移：

例如：

计算机中的实现：