1185炮兵阵地

 

 

炮兵阵地

Time Limit: 2000MS Memory Limit: 65536KTotal Submissions: 2762 Accepted: 776

Description

司令部的将军们打算在N*M的网格地图上部署他们的炮兵部队。一个N*M的地图由N行M列组成，地图的每一格可能是山地（用"H" 表示），也可能是平原（用"P"表示），如下图。在每一格平原地形上最多可以布置一支炮兵部队（山地上不能够部署炮兵部队）；一支炮兵部队在地图上的攻击范围如图中黑色区域所示： 如果在地图中的灰色所标识的平原上部署一支炮兵部队，则图中的黑色的网格表示它能够攻击到的区域：沿横向左右各两格，沿纵向上下各两格。图上其它白色网格均攻击不到。从图上可见炮兵的攻击范围不受地形的影响。 现在，将军们规划如何部署炮兵部队，在防止误伤的前提下（保证任何两支炮兵部队之间不能互相攻击，即任何一支炮兵部队都不在其他支炮兵部队的攻击范围内），在整个地图区域内最多能够摆放多少我军的炮兵部队。

Input

第一行包含两个由空格分割开的正整数，分别表示N和M； 接下来的N行，每一行含有连续的M个字符('P'或者'H')，中间没有空格。按顺序表示地图中每一行的数据。N <= 100；M <= 10。

Output

仅一行，包含一个整数K，表示最多能摆放的炮兵部队的数量。

Sample Input

5 4 PHPP PPHH PPPP PHPP PHHP

Sample Output

6

Source

Noi 01

 

分析一 盲目搜索

    初学者一般看到此题估计会无从着手。如果用“万能”的搜索算法，回溯或者枚举所有的状态来求解的话，那算法复杂度将是O(2^(m*n))。    又考虑到m<=10,n<=100,这将是个及其恐怖的工作。    大家知道凡是指数级的算法一般不能作用于较大数据的运算。

  分析二 动态规划

    观察地图，对于任何一行的炮兵放置都与其上下几行的放置有关。如果我们逐行的放置炮兵，并且每次都知道前面每行所有放置法的最优解（即最大炮兵数），那么我们要求放置到当行时某种放置法的最优解，就可以枚举前面与其兼容（即不会发生冲突）的所有放置法，从中求得本行的最优解。    那么就可以把N*M行的最优解装换成了(N-1)*M行的最优解。此算法的基础在于，每行的状态（炮兵放置情况）只与前几行的状态有关。    这满足最优子问题和无后效性的性质，因此可以使用动态规划求解。    最优子问题大家都知道。无后效性就是指最优解只与状态有关，而与到达这种状态的路径无关。    此问题的状态就是指该行的炮兵放置法

动态方程

    f[i][j][k] = max{f[i-1][k][p]+c[j]},(枚举p的每种状态)     f[i][j][k]表示第i行状态为s[j],第i-1行状态为s[k]的最大炮兵数,且s[j],s[k],s[p]及地形之间互不冲突    算法复杂度：O(N*S*S*S),N为行数，S为总状态数

问题如何描述

    好了，思路大致都准备好了。但如何描述问题呢？    动态规划的关键就在于如何描述状态。如何用二进制串表示状态的话，那么在代码中表示起来将很复杂，不利于编写代码。    怎么办？

状态压缩

    现在引入最关键的感念，状态压缩    我们把一个二进制串的相应十进制数称为该二进制串的压缩码，这就将一个二进制串压缩为一个简单的十进制状态。    伴随着这个概念而来的是其相应的位运算，&, |, !，<<, >>等。

相关运算

    我们现在就可以用与运算&判断两个压缩状态间、压缩状态与压缩地图间是否冲突。    用移位运算>>和求余运算%计算压缩状态所包含的炮兵数

困惑？

    现在似乎大功告成了，但是所写的代码提交运行结果为，Time Limit Exceed，即超时。    为什么呢？

复杂度解析

    看看题目条件吧！Time Limit: 2000MS    Memory Limit:65536K     我们采用压缩二进制方式来表示一行的所有状态，那么会有每行会有2^10即1024个状态。因此在最坏情况下（M＝10，N＝100，所有地点都是平原），会将扫描100*1024*1024*1024（10^11，远远超过2S），因此不可取。    O(N*S*S*S)不可取么？

算法加速

    不！    仔细分析，状态数S真的是2^10么？    显然，有些是伪状态，自身就是个矛盾体。那么可以提前摒弃这些伪状态。记过计算，单独一行（10列）的合法状态数只有60个！！

求合法状态的代码段

    sNum = 0; //合法状态总数     for ( int k = 0; k < (1<<column); k++ ){        int m = k;        //判断该状态是否合法        if ( ( (m<<1)&k ) || ( (m<<2)&k ) )              continue;         //该合法状态数包含的炮兵数        c[sNum] = m%2;           while ( m = (m>>1) ) c[sNum] += m%2;        s[sNum++] = k;   //合法状态数    }

优化

    考虑到本行最优解f[i][j][k]只与前一行f[i-1][k][p]有关，也就是说每次计算只需要前一行的最优解就可以了。    那只用申请f[2][61][61]的内存,就可以实现该算法，而非f[100][61][61],更非f[100][1025][1025]。    可是，如果用向量f[0]表示当前行的最优解，向量f[1]表示前一行的最优解,那每次迭代计算时岂不是又要交换两个向量的值？

滚动数组

    借助滚动数组技术，可以轻松实现这个转换！    引入迭代坐标roll，向量f[roll]指向当前行，计算f[roll]时，f[(roll+1)%2]指向前一行，计算结束后，令roll = (roll+1)%2，就可以实现行转换了。    我们只要初始roll = 0即可，运算结束时，我们不必知道roll的值，但roll必然指向待计算的那行，(roll+1)%2指向最终结果所在行。

运行结果

Problem: 1185      User: new_star Memory: 316K     Time: 235MS Language: G++     Result: Accepted

小结

    1.最优子结构和无后效性    2.压缩状态的动态规划    3.位运算    4.滚动数组