线性空间

简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。

　　首先介绍域的概念：

　　设F是一个非空集合，在F中定义加法和乘法两种运算，且这两种运算对F来说是封闭的，也就是说，对F中的任意两个元素a，b，a+b和ab仍属于F，如果加法和乘法运算满足以下运算规则，则称F对所规定的加法和乘法运算作成一个域：

　　Ⅰ.1 对F中任意两个元素a，b，有

　　a+b=b+a

　　Ⅰ.2 对F中任意三个元素a，b，c，有

　　(a+b)+c=a+(b+c)

　　Ⅰ.3 F中存在一个元素，我们把它记作0，使得对F中的任意元素a，有

　　a+0=a

　　Ⅰ.4 对F中的任意元素a，在F中存在一个元素，我们把它记作-a，有

　　a+(-a)=0

　　Ⅱ.1 对F中任意两个元素a，b，有

　　ab=ba

　　Ⅱ.2 对F中任意三个元素a，b，c，有

　　(ab)c=a(bc)

　　Ⅱ.3 F中存在一个≠0的元素，我们把它记作e，使得对F中的任意元素a，有

　　ae=a

　　Ⅱ.4 对F中任意≠0的元素a，在F中存在一个元素，我们把它记作a‘(这里是a的负一次方，因为 显示不了a的负一次方，所以用a’代替)，有

　　aa'=e

　　Ⅲ 对F中任意三个元素a，b，c，有

　　a(b+c)=ab+ac

　　常见的域有：复数域C、实数域R、有理数域Q，但是自然数集N和整数集Z都不是域。

　　以下是线性空间严格的定义：

　　设V是一个非空集合，F是一个数域，在集合V的元素之间定义一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯一的一个元素z与他们对应，称为x与y的和，记为z＝x＋y．在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域F中任一数k与V中任一元素x，在V中都有唯一的一个元素y与他们对应，称为k与x的数量乘积，记为y＝kx。如果加法与乘法还满足下述规则，那么V称为数域F上的线性空间．

　　1. V对加法成Abel群，即满足：

　　（1）（交换律）x＋y＝y＋x；

　　（2）（结合律）（x＋y）＋z＝x＋（y＋z）

　　（3）（零元素）在V中有一元素0，对于V中任一元素x都有x＋0＝x；

　　（4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x＋y=0；

　　2. 数量乘法满足：

　　（5）1x＝x；

　　（6）k(lx)=(kl)x；

　　3. 数量乘法和加法满足：

　　（7）（k+l）x＝kx＋lx；

　　（8）k（x＋y）＝kx＋ky．

　　其中，，x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素，1是F的乘法单位元。

　　数域F称为线性空间V的系数域或基域，F中元素称为纯量或数量（scalar），V中元素称为向量（vector）。

　　当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，V称为复线性空间。

简单性质

　　（1）V中零元素（或称0向量）是唯一的。

　　（2）V中任一向量x的负元素（或称负向量）是唯一的。

　　（3）kx=0（其中k是域F中元素，x是V中元素）当且仅当k=0或x=0。

　　（4）(-k)x=-(kx)=k(-x)。

例子

　　1. 域F上m×n矩阵全体，按矩阵的加法与数乘是F上线性空间。

　　2. 复数域C是实数域R上的线性空间。

　　3. 域F上次数小于n的多项式形式全体是F上的线性空间。

　　4. 连续实变函数全体按函数的加法和数与函数的乘法是实数域R上的线性空间。

 

扩展阅读： 1

1.《高等代数学》（第2版)，张贤科 许甫华编著，清华大学出版社。

2

2.《代数与几何》，居余马 李海中编著，高等教育出版社。

3

3.《矩阵论》卜长江等，哈尔滨工程大学出版社

4

4.《代数和编码》(第3版), 万哲先编著, 高等教育出版社。