特征值 特征向量 奇异值分解 SVD

特征向量确实有很明确的几何意义，矩阵(既然讨论特征向量的问题，当然是方阵，这里不讨论广义特征向量的概念，就是一般的特征向量)乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能是零向量)，所以一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax=cx,你就恍然大悟了,看到了吗？cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方向相同)，而且x是特征向量的话，ax也是特征向量(a是标量且不为零)，所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族， 另外，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值不是那么重要，虽然我们求这两个量时先求出特征值，但特征向量才是更本质的东西！

 

转自http://bbs.chinadv.com/read-htm-tid-683846-fpage-0-toread--page-2.html中国数码视频在线论坛，虽然只是一段话，我觉得足以媲美 孟岩 的 三篇《理解矩阵》雄文。呵呵，不知文中的网友是何方神圣，真想认识一下。

 

http://202.117.96.226:8090/xxds/5/5-1/5.1.htm#这可能是某个大学的网址，也是不错的教材。有一个很好的演示，当然演示中没有什么解释，结合这上面的文字，特征向量和特征值的意义就昭然若揭了，呵呵。

 

单位圆上的任何一点都对应于 椭圆上的一点，对应关系就是这个 转换矩阵了。这些点中，方向呈正负45度的 四个点，其方向在转换前后 没有发生变化，用向量表示就是[1，1]^T (^T表示转置，就是1，1应该竖着排）和 [-1，1]^T     呵呵，bingo, 总算得出来了，这两个向量就是 该 矩阵的 特征向量，对应特征值 分别为 2和8 。 这是在两个特征向量方向的伸缩倍数。

矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手，把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的线性变换就是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比，这样的一些非零向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理！