K-最近邻算法的一大缺陷是：维度危机（curse of dimensionality）。当有大量不相干的属性存在时，近邻间的距离会被大量的不相关属性所支配。
比如，在数据集方面。在《K-最近相邻（1）》中的数据集是单一的，值域范围相同的，且对结果有着同样影响力的；但可能实际的数据集比之更为复杂。
例如：可能存在值域范围不同的变量（例如，酒瓶的大小）；或者完全不相干的变量（如，酒瓶的颜色etc。）在实际的学习器训练中，我们不应该对这些因素考虑（针对不相干的变量），或者因对之进行合理的处理（如，值域范围不同的变量）。
我们来构造一个全新的数据集
#---------------------------------------------------------------------- def wineset_x(wine_num): """build more complicated price set""" rows = [] for i in range(wine_num): rating = random() * 50 + 50 age = random() * 50 aisle = float(randint(1,20)) bottlesize = [375.0, 750.0, 1500.0, 3000.0][randint(0, 3)] price = winprice(rating, age) * (bottlesize/750) price *= random()*0.9 + 0.2 rows.append({'input':(rating,age,aisle,bottlesize), 'result':price})
这段代码构造了一乌七八糟什么都有的数据集。
如果使用我们前面的算法，会将这所有的数据，有用的无用的值域相同的值域不同的，同等对待，那么结果可能是这样的（幸亏我们可以交叉测试）：
data = wineset(200) data_x = wineset_x(200) WKNN = lambda d,v: weightedKNN(d, v, k=3) for i in range(10): print( crossvalidate(WKNN, data) ) print( crossvalidate(WKNN, data_x) ) print()
594.899621942 8467.01121529 569.269136527 8691.51894409 677.876073646 9570.0476954 529.699699245 8667.28441348 589.597977734 9084.18326893 709.92912033 10442.1349148 547.270179483 11436.0060748 561.079841745 9498.04898803 601.720659638 8854.67502583 613.654765319 10449.3282605
嗯，这个结果，不太好。。。
我们应该对不同变量（要素）区别对待。
解决维数危机的方法可以有：
1.当计算两个实例间的距离时对每个属性加权。
2.从实例空间中完全消除最不相关的属性。
按比例缩放（这里顺带进行了不相干属性的消除操作）
对数值进行归一化处理，从而使所有变量都位于相同的值域之内。对每一维度上的数值乘以该维度上的一个常量。
如果要忽略某些值，则将这些值乘以0，这样就自然地忽略了。（这其实也是在按比例缩放，只不过缩放的比例是0。。。）
#---------------------------------------------------------------------- # 按比例缩放 def rescale(data, scale): """scaling dimensions""" scaleddata = [] for row in data: scaled = [ scale[i]*row['input'][i] for i in range(len(scale)) ] scaleddata.append( {'input':scaled, 'result':row['result']} ) return scaleddata
我们来测试一下：
data = wineset(200) data_x = wineset_x(200) sdata = rescale(data_x, [1,1,0,0.01]) # print(data[0]) print(data_x[0]) print(sdata[0]) # data_x = rescale(data_x, [1,1,0,0.05]) # print(data_x[0]) WKNN = lambda d,v: weightedKNN(d, v, k=3) KNN = lambda d,v: knnestimate(d, v, k=3) # for i in range(10): # print( crossvalidate(WKNN, data) ) # print( crossvalidate(WKNN, data_x) ) # print() print( crossvalidate(WKNN, data_x) ) print( crossvalidate(WKNN, sdata) )
结果大约如下：
缩放前： 6634.38530258 缩放后： 7280.93222132 缩放前： 8528.38773768 缩放后： 5451.28842881 缩放前： 8096.74622633 缩放后： 6710.65597041 缩放前： 5637.89616674 缩放后： 7714.30667587 缩放前： 7662.63614458 缩放后： 6570.56199408 缩放前： 7531.53444331 缩放后： 7668.44107909 缩放前： 6126.22586715 缩放后： 5640.87114486 缩放前： 7319.97627061 缩放后： 5054.53137966 缩放前： 6793.92133569 缩放后： 6724.26829326 缩放前： 5469.07057273 缩放后： 6977.01182822
可以看出，缩放后的效果总体上是好于所缩放前的。
（PS1：如何进行缩放是关键。这里所使用的缩放方法是乘以一个因子，我们的例子中使用的是：sdata = rescale(data_x, [1,1,0,0.01])，乘以1表示不缩放，乘以0，表示忽略该项。）
（PS2：其实这里的比较并没有多大的意义；因为算法是随机产生一个随机数来进行数据集的划分的，两次随机产生的数据集并不相同；但鉴于数据集被缩放过的，所以无论如何划分数据集，所进行的总是：未缩放的数据与已缩放的数据之间的比较，所以还是具有一定的意义的）
（PS3：书《集体智慧编程》上给出的例子中缩放前喝缩放后的比较那叫一个明显啊。。。）
缩放参数确定的自动化进行
以上的数据是我们自己生成的，但如果我们事先并不知道这些数据（例如特征etc。）那么我们该选择什么缩放参数呢？
嗯，我们的问题是：如何从一系列的答案中得到比较好的那个，那么很显然，应使用优化算法来自动确定优秀的缩放参数。
我们要做的只是写一个控制函数而已。
#---------------------------------------------------------------------- # 利用优化算法进行成本函数的封装 def createcostfuncton(algf, data): """optimizing the scaling""" constfunc = lambda scale: crossvalidate(algf, rescale(data, scale), trials=10 ) return constfunc weightdomain = [(0,20)]*4
貌似如果使用lambda来定义该函数的话会产生错误的结果。。。
另，注意weightdomain 的定义。（这个在优化算法中已有大量讲到）
我们来调用一下：
data_x = wineset_x(200) WKNN = lambda d,v: weightedKNN(d, v, k=3) costfunc = createcostfuncton(WKNN, data_x) print('Here We Go...') print( optimization.geneticoptimize_x(weightdomain, costfunc) )
geneticoptimize_x是以爬山法产生初始种群的遗传算法。geneticoptimize_x的运行效率显然是相当的可观。。。
运行结果大致如下：
[15, 8, 0, 2] 缩放前： 6993.97196586 缩放后： 5822.74897608 缩放前： 6552.64415819 缩放后： 5241.33544969 缩放前： 6901.51683037 缩放后： 5998.852073 缩放前： 6843.81841964 缩放后： 7406.39902386 缩放前： 7399.77968979 缩放后： 6553.51283337 缩放前： 6564.00568371 缩放后： 5502.11495222 缩放前： 6181.57919027 缩放后： 6413.02360567 缩放前： 6661.19941695 缩放后： 5494.88938746 缩放前： 6197.48800701 缩放后： 6482.08435538 缩放前： 6646.44901676 缩放后： 7706.1129552
（说大致是因为：我们定义的成本函数，从本质上讲，是个基于概率的函数，且在其中，概率发生的作用相当巨大，因此，在每次调用时，该成本函数对同样的序列并不能给出同样的结果，因此，geneticoptimize_x的种群的最优异者是每次都变化的。从本质上将，在geneticoptimize_x中，迭代N次与不迭代没有显著的区别（因为迭代的结果并不能保持到下次迭代中去，即是，优异者在种群的下次进化中死掉了。。。）。。。）：
通过测试，该序列[15, 8, 0, 2]在geneticoptimize_x产生的成本结果是：
scores = (2647.7657340720734, [15, 8, 0, 2])
这在以后调同样的函数后，得到的成本结果却达不到该值。。。
基于以上的讨论，你可能认为，既然geneticoptimize_x的优异者并不能保持到下次种群进化中，也就是说，geneticoptimize_x中只有第一次爬山法产生的序列是真正有意义的，那么不如直接使用爬山法来得到序列得了。
但测试后发现，直接用爬山法得到的序列并不是很好。这大约是因为，geneticoptimize_x中我们产生的初始种群是由爬山法进行了N次获得的，且在geneticoptimize_x的main loop中叶并不是完全没有意义。。。
在测试中，遇到过这样的问题：
return error/len(testset)
ZeroDivisionError: int division or modulo by zero
原来是len(testset)中testset是基于概率产生的，那么完全可能产生一个长度为0的testset。。。（汗，这概率。。。）
修改后的testalgorithm如下：
#---------------------------------------------------------------------- def testalgorithm(algf, trainset, testset): """test function""" error = 0 # testset为0的情况下直接返回 if len(testset) == 0: return 0 for row in testset: guess = algf(trainset, row['input']) error += (row['result']-guess)**2 return error/len(testset)
这让我想起《蝙蝠侠2》中的台词：“只有概率是公平的”。。。
以此来确定最佳参数还有额外的一个好处便是：我们可以通过所优化得到的参数判断出哪些参数是重要的，哪些是不太重要的，哪些是可以忽略的。。。如此在搜集数据时候，就可以有针对性的进行（比如，我们不会去费力收集某些实际上无用的数据。。。）。
嗯，看起来这篇博文字数不太多。。。那就贴个K-最邻近算法的全部代码吧。
from random import randint,random import math import optimization #---------------------------------------------------------------------- # 构造价格 def winprice(rating, age): """to construct price""" peak_age = rating - 50 # 根据等级计算价格 price = rating / 2 if age > peak_age: # 经过巅峰年，后续五年内其品质将变差 price = price * (5 - (age-peak_age)) else: # 价格在逼近巅峰年时会增加原值的5倍 price = price * (5*((age+1)/peak_age)) if price < 0: price = 0 return price #---------------------------------------------------------------------- # 构造价格集 def wineset(wine_num): """build the price set""" rows = [] for i in range(wine_num): # 随机生成年代和等级 rating = random() * 50 + 50 age = random() * 50 # 得到参考价格 price = winprice(rating, age) # 增加噪声 price *= random()*0.4 + 0.8 # 加入数据集 rows.append({'input':(rating,age), 'result':price}) return rows #---------------------------------------------------------------------- def wineset_x(wine_num): """build more complicated price set""" rows = [] for i in range(wine_num): rating = random() * 50 + 50 age = random() * 50 aisle = float(randint(1,20)) bottlesize = [375.0, 750.0, 1500.0, 3000.0][randint(0, 3)] price = winprice(rating, age) * (bottlesize/750) price *= (random()*0.9 + 0.2) rows.append({'input':(rating,age,aisle,bottlesize), 'result':price}) return rows #---------------------------------------------------------------------- def wineset_xx(wine_num): """build Uneven Distributions""" rows = wineset(wine_num) for row in rows: # 葡萄酒是在折扣店中购买的 if random < 0.5: rows['result'] *= 0.5 return rows #---------------------------------------------------------------------- # 欧几里得算法计算相似度 def euclidean(v1, v2): """euclidean--Similarity""" d = 0.0 for i in range(len(v1)): d += (v1[i]-v2[i])**2 return math.sqrt(d) #---------------------------------------------------------------------- def getdistance(data, vec1): distancelist = [] for i in range(len(data)): vec2 = data[i]['input'] distancelist.append( (euclidean(vec1,vec2), i) ) distancelist.sort() return distancelist #---------------------------------------------------------------------- # KNN主体 def knnestimate(data, vec1, k=5): """KNN""" dlist = getdistance(data, vec1) avg = 0.0 # 对前K项结果求平均 for i in range(k): idx = dlist[i][1] avg += data[idx]['result'] avg /= k return avg #---------------------------------------------------------------------- # 紧邻权重 def inverseweight(dist, num=1.0, const=0.1): """inverse function for weighted neighbors""" return num/(dist+const) #---------------------------------------------------------------------- def subtractweight(dist, const=1.0): """subtraction function for weighted neighbors""" if dist > const: return 0 else: return const - dist #---------------------------------------------------------------------- def gaussian(dist, sigma=10.0): """gaussian function for weighted neighbors""" return math.e**(-dist**2/(2*sigma**2)) #---------------------------------------------------------------------- # Gaussian-based KNN def weightedKNN(data, vec1, k=5, weightedfunc=gaussian): """weighted KNN""" # 得到距离 dlist = getdistance(data, vec1) avg = 0.0 totalweight = 0.0 # 得到加权平均 for i in range(k): dist = dlist[i][0] idx = dlist[i][1] weight = weightedfunc(dist) avg += weight*data[idx]['result'] totalweight += weight avg /= totalweight return avg #---------------------------------------------------------------------- # 交叉验证 def dividedata(data, test=0.05): """Cross--Validation""" trainset = [] testset = [] for row in data: if random() < test: testset.append(row) else: trainset.append(row) return trainset,testset #---------------------------------------------------------------------- def testalgorithm(algf, trainset, testset): """test function""" error = 0 # testset为0的情况下直接返回 if len(testset) == 0: return 0 for row in testset: guess = algf(trainset, row['input']) error += (row['result']-guess)**2 return error/len(testset) #---------------------------------------------------------------------- def crossvalidate(algf, data, trials=100, test=0.05): """test control""" error = 0 for i in range(trials): trainset,testset = dividedata(data, test) error += testalgorithm(algf, trainset, testset) return error/trials #---------------------------------------------------------------------- # 按比例缩放 def rescale(data, scale): """scaling dimensions""" scaleddata = [] for row in data: scaled = [ scale[i]*row['input'][i] for i in range(len(scale)) ] scaleddata.append( {'input':scaled, 'result':row['result']} ) return scaleddata #---------------------------------------------------------------------- # 利用优化算法进行成本函数的封装 def createcostfuncton(algf, data): """optimizing the scaling""" def costfunc(scale): sdata = rescale(data, scale) return crossvalidate(algf, sdata, trials=10) return costfunc weightdomain = [(0,20)]*4 #---------------------------------------------------------------------- # 估计区间价格概率 def probguess(data, vec1, low, high, k=5, weightf=gaussian): """Estimating the Probability Density""" dlist = getdistance(data, vec1) nweight = 0.0 tweight = 0.0 for i in range(k): dist = dlist[i][0] idx = dlist[i][1] weight = weightf(dist) v = data[idx]['result'] # 当前数据点是否位于指定范围? if v >= low and v <= high: nweight += weight tweight += weight if tweight == 0: return 0 # 概率 == 位于指定范围内的权重/所有权重值 return nweight/tweight #====================================================================== # test: numpredict.py #====================================================================== if __name__ == '__main__': print('Test: numpredict.py') pass
（PS：其中很多部分可以单独成模块，或和其他模块整合在一起。）
嗯，关于K-最近邻算法大约就是这么些了。
K-最近邻算法属于基于实例的机器学习方法。但基于实例的机器学习算法还有很多。如局部加权回归，径向基函数，基于案例的推理等。具体可参看《机器学习》等书籍。
By Kewing
