一、 回溯的基本思想是： 从一个给定的起始位置，我们希望到达一个目的位置。我们重复地进行选择（可能是猜测）下一个位置应当是什么。如果一个给定的选择是有效的， 即新的位置可能位于通向目的位置的途径中，则前进到这个新的位置，然后继续。 如果一个给定的选择通向了死胡同 ，则回到前面的位置，进行其他的选择。回溯就是通过一系列位置选择到达目的位置，并且在不能到达目的位置时反向退回的策略。
通俗的讲法：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。
算法书上可能这样说：回溯法是在包含问题的所有解的解空间树(或森林)中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。 算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否满足问题的约束条件。如果满足进入该子树，继续 按照深度优先的策略进行搜索。否则，不去搜索以该结点为根的子树，而是逐层向其祖先结点回溯。 回溯法在用来求解问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求解问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。适用于解决一些最优化问题。
二. 算法设计过程
(1) 确定问题的解空间 应用回溯法解决问题时，首先应明确定义问题的解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个最优解。
(2) 确定结点的扩展规则 约束条件。
(3) 搜索解空间 回溯算法从开始结点(根结点)出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应该往回移动(回溯)至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中 搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
三. 算法框架 (1) 问题框架
设问题的解是一个n维向量(a1,a2,...,an),约束条件是ai(i=1,2,...,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。
(2) 非递归回溯框架 int a[n], i; i=1; while(i>0(有路可走) and [未达到目标]){ //还未回溯到头 if(i>n){ //搜索到叶结点 搜索到一个解，输出； }else{ a[i]第一个可能的值； while(a[i]不满足约束条件且在搜索空间内) a[i]下一可能的值； if(a[i]在搜索空间内){ 标识占用的资源； i = i+1; //扩展下一个结点 }else{ 清理所占的状态空间； i = i-1; //回溯 } } }
(3)递归算法框架 int a[n]; try(int i){ if(i>n){ 输出结果； }else{ for(j=下界; j<=上界; j++){//枚举i所有可能的路径 if(f(j)){ //满足限界函数和约束条件 a[i] = j; ... //其他操作 try(i+1); a[i] = 0; //回溯前的清理工作(如a[i]置空) } } } }
四、例1. 问题描述： 输出自然数1到n的所有不重复的排列，即n的全排列。
2. 问题分析： (1) 解空间： n的全排列是一组n元一维向量(x1, x2, x3, ... , xn),搜索空间是：1<=xi<=n i=1,2,3,...,n
(2) 约束条件： xi互不相同。技巧：采用"数组记录状态信息", 设置n个元素的一维数组d，其中的n个元素用来记录数据 1~n的使用情况，已使用置1，未使用置0
3. Java代码： 源代码下载地址：http://www.java3z.com/cwbwebhome/dir1/dir5/NAllArment.zip/** * 回溯法 * * @since jdk1.6 * @author 毛正吉 * @version 1.0 * @date 2010.05.25 * */ public class NAllArrangement { private int count = 0; // 解数量 private int n; // 输入数据n private int[] a; // 解向量 private int[] d; // 解状态 /** * @param args */ public static void main(String[] args) { //测试例子 NAllArrangement na = new NAllArrangement(5, 100); na.tryArrangement(1); } public NAllArrangement(int _n, int maxNSize) { n = _n; a = new int[maxNSize]; d = new int[maxNSize]; } /** * 处理方法 * * @param k */ public void tryArrangement(int k) { for (int j = 1; j <= n; j++) { // 搜索解空间 if (d[j] == 0) { a[k] = j; d[j] = 1; } else { // 表明j已用过 continue; } if (k < n) { // 没搜索到底 tryArrangement(k + 1); } else { count++; output(); // 输出解向量 } d[a[k]] = 0; // 回溯 } } /** * 输出解向量 */ private void output() { System.out.println("count = " + count); for (int j = 1; j <= n; j++) { System.out.print(a[j] + " "); } System.out.println(""); } } 运行结果：C:/java>java NAllArrangementcount = 11 2 3 4 5count = 21 2 3 5 4count = 31 2 4 3 5count = 41 2 4 5 3count = 51 2 5 3 4count = 61 2 5 4 3count = 71 3 2 4 5count = 81 3 2 5 4count = 91 3 4 2 5。。。。。。。。
