回文串扩展问题

随意搜了一把关键字“回文串”，又发现一个关于回文的好题：对任意的字符串，求最少需要插入多少个字符能使其成为一个回文串。举例：原串为“213456532”，最少插入1和4就可以得到一个回文串“21345654 31 2”。

 

第一感觉这个应该还是有DP解，仔细想想，以任意字符为回文串中心，可以得到左右两个子串A和B（空串也可视为合法串）；如果原串中有两个相邻字符是相同的，则以这两个字符为回文串中心，得到A和B。然后问题转化为针对任意字符串A和B，如何插入字符能使得A和B^T 变成相同串，B^T =reverse(B)。

 

假设dp[i][j]记录的是将A串的前k(k<=i)个字符部分和B^T 串的前l(l<=j)个字符部分变成相同串所需插入的最少次数，对于i和j时的情形可以表示为：

1）如果A[i]==B^T [j]，则dp[i][j]=dp[i-1][j-1]，条件已经符合，不需要插入任何字符，新串A’[1...i]和B^’T [1...j]已经相同

2）如果A[i]!=B^T [j]，则分两种情况：

     A: 假设选择在A[i]后追加字符B^T [j]，使得尾部字符保持一致，于是变成子问题A[1...i]和B^T [1...j-1]的解+1

     B: 假设选择在B^T [j]后追加字符A[i]，使得尾部字符保持一致，于是变成子问题A[1...i-1]和B^T [1...j]的解+1

     两者取其小，得dp[i][j] = min(dp[i][j-1]+1, dp[i-1][j]+1);

 

转换方程：

g(i,j) =  {  g(i-1,j-1)                             if i and j valid && A[i]==B[j]

             {   min(g(i-1,j)+1, g(i,j-1)+1)   if i and j valid && A[i]!=B[j]

初始值：g(0,j)=j； g(i,0)=i

 

String str; public int numCharsNeededAtLeast(String str) { this.str = str; int min = Integer.MAX_VALUE; for(int i=0; i<str.length(); i++) { min = Math.min(min, go(i-1,i+1)); if(i>0&&str.charAt(i)==str.charAt(i-1)) min = Math.min(min, go(i-2,i+1)); } return min; } int MAX = 1<<29; public int go(int lsplit, int rsplit) { int[][] dp = new int[str.length()+1][str.length()+1]; for(int i=0; i<dp.length; i++) { Arrays.fill(dp[i], MAX); dp[0][i] = dp[i][0] = i; } for(int i=0; lsplit-i>=0; i++) for(int j=0; rsplit+j<str.length(); j++) { if(str.charAt(lsplit-i)==str.charAt(rsplit+j)) dp[i+1][j+1] = dp[i][j]; else dp[i+1][j+1] = Math.min(dp[i][j+1]+1, dp[i+1][j]+1); } return dp[lsplit+1][str.length()-rsplit]; }