1. 数学分析
上一篇中间在做旋转的时候我直接用了旋转变换矩阵，当时觉得很尴尬，因为之前没说过是怎么产生的该矩阵。
1) 矩阵和向量的微妙关系
如果您还记得向量加法的几何意义，那么不难看懂下面的等式：
[x] [x] [0] [0] [1] [0] [0]
v = [y] = [0] + [y] + [0] = x * [0] + y * [1] + z * [0]
[z] [0] [0] [z] [0] [0] [1]
我们可以看到一个向量或者说是一个点，可以表示为该向量的各分量与某坐标轴单位向量的乘积之和。
我们设p,q,r分别代表这三个单位向量，则可以转化为这种形式：
v = xp + yq + zr
现在我们把p,q,r一般化，令p = [px py pz], q = [qx qy qz], r = [rx ry rz]，我们把它们组成一个矩阵
[ px py pz ]
M = [ qx qy qz ]
[ rx ry rz ]
然后用向量[x y z]乘以该矩阵，得
[x y z] × M = [(x*px +y*qx + z*rx) (x*py + y*qy + z*ry) (x*pz + y*qz + z*rz)] = xp + yq + zr
呵呵，看到M的作用了吗，他把向量[x y z]执行了一次矩阵变换，变成了v。这就是变换矩阵的来源。那他可以做什么呢？下面就是重点了。
我们用坐标轴的单位向量(我们管他叫基向量)来分别乘以M：
[1 0 0] × M = p
[0 1 0] × M = q
[0 0 1] × M = r
哈哈，这个性质太重要了：对于一个坐标轴(上面的[1 0 0] [0 1 0] [0 0 1]都是某个坐标轴的单位向量)，我们可以使用一个向量来变换他。比如对于X轴，我们只要给出一个变换向量p，就可以把X轴按p向量进行变换。而且我们可以同时给出p,q,r，同时对X,Y,Z三个轴进行变换。
下面的图非常形象的表示了我们现在可以如何利用这个性质：
我们可以把图中的绿色、红色箭头看作是坐标轴的单位向量，分别对应X轴[1 0]和Y轴[0 1]，那么我们对他们进行变换会发生什么？
比如，我们把X轴从向量[1 0]变换到[2 1]，把Y轴从[0 1]变换到[-1 2]，那么效果如下图：
进行了这个变换，我们发现，空姐的照片不仅被放大了一些，而且还绕Z轴旋转了一些。这就是刚才我们构建的矩阵
M = [ 2 1 ] 的作用
[-1 2 ]
现在弄清楚变换矩阵和向量的关系了吧，我们可以构建矩阵M，用M的第一行来变换物体坐标系的X轴向量，用M的第二行来变换物体坐标系的Y轴向量，用M的第三行来变换物体的Z轴向量，就好象控制3ds max的操作柄一样。现在我们可以来推导旋转矩阵了。
2) 3D旋转变换矩阵的推导。
我们首先还用一个俯视图来推导，我们顺着Z轴俯视下来，现在让物体绕Z轴旋转，那么物体的X轴控制柄向量和Y轴控制柄向量应该如何变换呢？看图：
因为是绕Z轴旋转，那么X轴和Y轴都应该旋转同一个角度，设为theta。那么对于X轴单位向量(1,0)，则旋转theta后，坐标变为cos(theta), sin(theta)。Y轴单位向量(0,1)在旋转theta后，坐标变为-sin(theta),cos(theta)。那么我们开始整理矩阵：
对于X控制柄，变换向量为：[cos(theta) sin(theta) 0]
对于Y控制柄，变换向量为：[-sin(theta) cos(theta) 0]
对于Z控制柄，变换向量为: [ 0 0 1] (因为Z控制柄没有变化，扔为Z轴单位向量)
好了，我们已经求得了某点绕Z轴旋转的变换矩阵了：
M =
[ cos(theta) sin(theta) 0 ]
[ -sin(theta) cos(theta) 0 ]
[ 0 0 1 ]
2. 代码实现
根据上面的推导，我们可以同理推出绕X,Y轴的变换矩阵，下面的函数是实现一个综合旋转，可以获得让一个点，绕X,Y,Z同时转的变换矩阵：
void _CPPYIN_3DLib::BuildRotateMatrix(double anglex_du, double angley_du, double anglez_du, MATRIX4X4_PTR m) // 创建同时绕X,Y,Z旋转不同度数的变换矩阵 { // 初始化针对绕X,Y,Z轴旋转的3个变换矩阵，将他们都复制为单位矩阵，如果绕某轴不旋转，则单位矩阵不会影响结果 MATRIX4X4 mx, my, mz; memcpy((void *)(&mx), (void *)&MATRIXI_4X4, sizeof(MATRIX4X4)); memcpy((void *)(&my), (void *)&MATRIXI_4X4, sizeof(MATRIX4X4)); memcpy((void *)(&mz), (void *)&MATRIXI_4X4, sizeof(MATRIX4X4)); double sin_theta, cos_theta; // 缓存计算结果，减少CPU开销 if (anglex_du > EPSILON) { cos_theta = FastCos(anglex_du); sin_theta = FastSin(anglex_du); MatrixCreate(&mx, 1, 0, 0, 0, 0, cos_theta, sin_theta, 0, 0, -sin_theta, cos_theta, 0, 0, 0, 0, 1); } if (angley_du > EPSILON) { cos_theta = FastCos(angley_du); sin_theta = FastSin(angley_du); MatrixCreate(&my, cos_theta, 0, -sin_theta, 0, 0, 1, 0, 0, sin_theta, 0, cos_theta, 0, 0, 0, 0, 1); } if (anglez_du > EPSILON) { cos_theta = FastCos(anglez_du); sin_theta = FastSin(anglez_du); MatrixCreate(&mz, cos_theta, sin_theta, 0, 0, -sin_theta, cos_theta, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1); } // 变换矩阵相乘，获得最终变换矩阵 MATRIX4X4 mtemp; MatrixMul(&mx, &my, &mtemp); MatrixMul(&mtemp, &mz, m); }
使用这个函数，对上篇文章的某些函数做了简化，不用每次都手写这些矩阵了，这次的DEMO对上次的金字塔同时执行X和Z轴的变换。
请注意我修改了世界变换与旋转物体的顺序，并且保存旋转后的点的存储位置也不一样了哦。
截图：
3. 代码下载
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4. 补充内容
其实这次只说了旋转矩阵的推导，但通过这个过程，我们知道了向量和矩阵之间的微妙关系，对于其他变换，如：缩放、投影、镜像、切变也都可以利用这种关系来推导出来，这里就不多费口舌了。
一个比较特殊的情况是平移。如果您仔细看了文章就会发现，对X,Y,Z三个坐标轴进行变换并不能达到使物体平移的目的，这也就是为什么要用4D向量来表示和变换了，具体这第4维怎么用，有空我们再研究研究4D齐次坐标的原理吧，有兴趣的朋友可以发链接分享哦。
对于本次来客串的空姐，纯属增加趣味，所有的肖像权、发行权、出版权全归您所有，如果您认为权利被侵犯了，我会立刻更换图片~~
