欧氏距离，马氏距离（转载）

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欧氏距离定义： 欧氏距离（ Euclidean distance）是一个通常采用的距离定义，它是在m维空间中两个点之间的真实距离，两个向量之间的欧氏距离计算公式如下：

 

其中X，Y分别是m维的向量。

 

马氏距离

我们熟悉的欧氏距离虽然很有用，但也有明显的缺点。它将样品的不同属性（即各指标或各变量）之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。例如，在教育研究中，经常遇到对人的分析和判别，个体的不同属性对于区分个体有着不同的重要性。因此，有时需要采用不同的距离函数。

如果用dij表示第i个样品和第j个样品之间的距离，那么对一切i，j和k，dij应该满足如下四个条件： ①当且仅当i=j时，d_ij=0 　　②d_ij＞0 　　③d_ij＝d_ji（对称性） 　　④d_ij≤d_ik＋d_kj（三角不等式） 显然，欧氏距离满足以上四个条件。满足以上条件的函数有多种，本节将要用到的马氏距离也是其中的一种。 　　第i个样品与第j个样品的马氏距离d_ij用下式计算： 　　　　d_ij=(x_i一x_j)'S^-1(x_i一x_j) 　　其中，x_i和x_j分别为第i个和第j个样品的m个指标所组成的向量，S为样本协方差矩阵。 　　马氏距离有很多优点。它不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关；由标准化数据和中心化数据(即原始数据与均值之差）计算出的二点之间的马氏距离相同。马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。它的缺点是夸大了变化微小的变量的作用。