这篇文章为中文繁体，但看起来还是很容易的，内容很好。值得推荐：

Computer Graphics: 四元數與旋轉

在討論「四元數」之前，我們來想想對三維直角座標而言，在物體旋轉會有何影響，可以擴充三維直角座標系統的旋轉為三角度系統（Three-angle system），在Game Programming Gems中有提供這麼一段：

Quaternions do not suffer from gimbal lock. With a three-angle(roll, pitch, yaw) system, there are always certain orientations in which there is no simple change to the trhee values to represent a simple local roation. You often see this rotation having "pitched up" 90 degree when you are trying to specify a local yaw for right.

簡單的說，三角度系統無法表現任意軸的旋轉，只要一開始旋轉，物體本身即失去對任意軸的自主性。四元數（Quaternions）為數學家Hamilton於1843年所創造的，您可能學過的是複數，例如：a + b i 這樣的數，其中i * i = -1，Hamilton創造了三維的複數，其形式為 w + x i + y j + z k，其中i、j、k的關係如下：

i ² = j ² = k ² = -1 i * j = k = -j * i j * k = i = -k * j k * i = j = -i * k

假設有兩個四元數：

q ₁ = w ₁ + x ₁ i + y ₁ j + z ₁ k q ₂ = w ₂ + x ₂ i + y ₂ j + z ₂ k

四元數的加法定義如下：

q ₁ + q ₂ = (w ₁+w ₂) + (x ₁+x ₂) i + (y ₁+y ₂) j + (z ₁+z ₂) k

四元數的乘法定義如下，利用簡單的分配律就是了：

q₁ * q₂ = (w₁*w₂ - x₁*x₂ - y₁*y₂ - z₁*z₂) + (w ₁ *x ₂ + x ₁ *w ₂ + y ₁ *z ₂ - z ₁ *y ₂ ) i + (w ₁ *y ₂ - x ₁ *z ₂ + y ₁ *w ₂ + z ₁ *x ₁ ) j + (w ₁ *z ₂ + x ₁ *y ₂ - y ₁ *x ₂ + z ₁ *w ₂ ) k

由於q = w + x i + y j + z k中可以分為純量w與向量x i + y j + z k，所以為了方便表示，將q表示為(S, V)，其中S表示純量w，V表示向量x i + y j + z k，所以四元數乘法又可以表示為：

q₁ * q₂ = (S ₁ + V ₁ )*(S ₂ + V ₂ ) = S ₁ *S ₂ - V ₁ .V ₂ + V ₁ XV ₂ + S ₁ *V ₂ + S ₂ *V ₁

其中V₁.V₂表示向量內積，V₁XV₂表示向量外積。定義四元數q = w + x i + y j +ｚ k 的norm為：

N(q) = |q| = x ² + y ² + z ² + w ²

滿足N(q) = 1的四元數集合，稱之為單位四元數（Unit quaternions）。定義四元數定義四元數q = w + x i + y j +ｚk的共軛（Conjugate）為：

q* = 定義四元數q = w - x i - y j -ｚ k = [S - V]

定義四元數的倒數為：

1/ q = q* / N(q)

說明了一些數學，您所關心的或許是，四元數與旋轉究竟有何關係，假設有一任意旋轉軸的向量A(Xa, Ya, Za)與一旋轉角度θ，如下圖所示：可以將之轉換為四元數：

x = s * Xa y = s * Xb z = s * Xc w = cos(θ/2) s = sin(θ/2)

所以使用四元數來表示的好處是：我們可以簡單的取出旋轉軸與旋轉角度。

在这里，我将自己加一个上面公式的反推导，我们将根据四元数求我们用于旋转它的向量A(Xa, Ya, Za)。

公式如下：

      θ =acos(w)*2

              s=sin(θ/2)

      Xa=x/s

      Xb=y/s

      Xc=c/s

这个公式在编程当中也很有用，至于有什么用，偶现在还不清楚。

那麼四元數如何表示三維空間的任意軸旋轉？假設有一向量P(X, Y, Z)對著一單位四元數q作旋轉，則將P視為無純量的四元數X i + Y j + Z k，則向量的旋轉經導證如下：

Rot(P) = q p q*

四元數具有純量與向量，為了計算方便，將之以矩陣的方式來表現四元數的乘法，假設將四元數表示如下：

q = [w, x, y, z] = [S, V]

兩個四元數相乘q" = q * q'的矩陣表示法如下所示： 若令q = [S, V] = [cosθ, u*sinθ]，其中u為單位向量，而令q'= [S', V']為一四元數，則經過導證，可以得出q * q' * q^(-1)會使得q'繞著u軸旋轉2θ。由四元數的矩陣乘法與四元數的旋轉，可以導證出上面的旋轉公式可以使用以下的矩陣乘法來達成： 講了這麼多，其實就是要引出上面這個矩陣乘法，也就是說如果您要讓向量(x', y', z')（w'為0）對某個單位向量軸u(x, y, z)旋轉角度2θ，則w = cosθ，代入以上的矩陣乘法，即可得旋轉後的(x", y", z")，如果為了方便，轉換矩陣的最下列與最右行會省略不寫出來，而如下所示：關於四元數的其它說明，您可以參考 向量外積與四元數 這篇文章。關於旋轉的轉換矩陣導證，在Game Programming Gems第二章有詳細的說明。

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