空间变换及其应用(一)----代数几何重温

   空间变换在计算机图形学，图像及视频处理，密码学，通信编码中有着广泛的应用。本文归纳几种常见的变换，进一步可参阅 高等代数与解析几何方面的教材。 在实际应用中，很多时候需要把一个点 ( 坐标 ) 从一个空间映射到另一个空间。例如在游戏设计中存在多个坐标系，他们之间的点的映射关系就得通过变换。简单来说，变换就是在空间中到自身 ( 即定义域和值域相同 ) 的映射，通过矩阵相乘来完成。     先来重温一下高等代数的内容，这里推荐孟岩 (myan) 的文章 ---- 理解矩阵。下面列举几个概念：   空间 (space) ：是对象的集合。这里的对象可以是几何中的点 ( 本文所指 ) ，可以是一个多项式，也可以是其他抽象物体。空间中的对象通过选取基向量和坐标，以向量的形式表示。狂一点说，向量能表示客观事物的抽象，现在终于明白 Matlab( 一个矩阵运算软件 ) 为何能应用于几乎所有的工程领域。         向量 (vector) ： n 个有序的数组 (a1,a2,a3……) 称为 N 维向量。  基 (basis) ：一组线性无关的向量集合。线性空间中每一个向量可由基向量唯一线性表示。        域 (field) ：讨论空间的时候，必须规定向量元素中数的范围。初等代数中说的定义域，值域便是一例。例如图像中的象素位置域 F 则为自然数集。        映射 (mapping) ：设 V 和 W 都是域 F 的空间。映射则是按某个法则 f ，使得 V 中的元素在 W 中找到唯一对应元素，记做 f: V---> W, 元素 a-->b, b 称为 a 的象， a 称为 b 的原像。        变换 (transform) ：空间 V 到自身的映射称为变换，变换通过矩阵来完成。例如一个平面空间的点，经过变换后，仍落在平面空间上 ( 坐标改变 ) 。           函数 (function) ：空间 V 到域 F 的映射为函数。例如取图像灰度函数 g(x,y) ，是从平面空间 (2 维整数空间 ) 到灰度值（ 0 ～ 255 整数域）的一个函数。多项式求值也是一个函数，他把多项式空间映射到域 F 的一个数值。               下面举个例子。在数字通信中，一个经典的信道编码是线性码，通过添加几个冗余码字，实现检错与纠错。     在一个 4 维二元域向量 (a1~a4) 的右边添加 3 个分量 (c1~c3) ，其中        c1 = a1 + a2 + a3        c2 = a1 + a2 + a4        c3 = a1 + a3 + a4        这样就给出二元域 (0 和 1) 上向量空间 Z4 到 Z7 的一个映射，这个映射称为编码，每一个象称为码，码中的元素称为码字，前 4 个分量为信息位，后 3 个称为校验位。用矩阵实现映射           [c1, c2, c3]’ = [ 1 1 1 0 ] [a1, a2 , a3, a4] '                              [ 1 1 0 1 ]                              [ 1 0 1 1 ] 我们称这个码叫做 (7,4) 线性码。再讲下去有点离题，可参见数字通信教材。   下篇将着重介绍几种图像处理中常见映射：仿射，双线性，透视。