空间变换及其应用(二)----仿射,双线性,透视

       上篇复习了空间，映射和变换的概念。接下来介绍几种图像处理中常见的仿射，双线性，透视。下面仅讨论二维的情况。   仿射 (affine)        仿射变换是一个线性变换，变换后保持图形的平直性（直线还是直线），平行性 ( 平行线变换后还是平行 ) 。仿射变换通过一系列原子变换实现：平移 (translation) ，缩放 (scale) ，翻转 (flip) ，旋转 (rotation), 错切扭曲 (sheer) 。仿射实际上是在仿射空间中进行，而不是向量空间。仿射空间中的点表示为一个基准点与一个向量的和，这里不介绍仿射空间 , 见 http://courseware.ecnudec.com/zsb/zsx/Zsx08/ZSX089/ZSX08901/zsx089010.htm     对于一维的情况，有仿射变换 f(x) = Ax + B     二维一般形式： v = Mw + B        v,w 分别为二维空间坐标， M 为变换矩阵    [ a0   a1 ]    [ b0   b1 ]    于是有一般形式    [x’] = [  a₀x + a₁y + a₂ ]    [y’]     [  b₀x + b₁y + b₂ ]    平移：    M ＝ [ 1 0 ] B 为 [dx]            [ 0 1 ]       [dy]    旋转：    M ＝ [ cos θ –sin θ ]            [ sin θ cos θ ]    扭曲    M ＝ [ 1 ux ]            [uy 1 ]    缩放 / 伸缩（ s1=s2 时为缩放）    M = [ s1 0 ]          [0 s2 ]    对于图像处理，仿射变换后的坐标不一定是整数，需要进行灰度插值。   正交 (orthogonal)    线性空间中两个向量的内积 ( 几何上可以理解为点乘 ) 为 0 ，称为正交。例如几何上，两个互相垂直的向量为正交，可知正交向量组一定线性无关。用正交矩阵施加的变换称为正交变换。傅立叶变换，余弦变换， Walsh-Hadamard 变换均属于正交变换。详情略，请查阅酉空间变换   双线性 (bilinear)    设 V 是域 F 的一个线性空间，若      f(k₁a₁ + k₂a2, b) = k₁ f(a1, b) + k₂f(a2, b)    和 f(a, k₁b1 + k₂b2) = k₁f(a,b1) + k₂f(a,b2)   则称 f 是 V 上的一个双线性函数。   常见的双线性函数形式： f(x ， y) = a₀ + a₁x + a₂y + a₃xy   例如在图像的双线性插值中便是上述的形式。   透视 (perspective)    透视变换是一种几何变换，例如在移动机器人视觉研究中，摄像头和地面有一夹角，而不是垂直投下 ( 正投影 ), 就需要利用透视变换把其校正成正投影。 具有以下形式：