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IEEE浮点数表示法

技术2022-05-11  0


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IEEE浮点数表示法 ------------------------------------------------- float 共计32位(4字节)由最高到最低位分别是第31、30、29、......、0位31位是符号位,1表示该数为负,0反之30~23位,一共8位是指数位( -128~127 )22~ 0位,一共23位是尾数位每8位分为一组,分成4组,分别是A组、 B组、 C组、 D组每一组是一个字节,在内存中逆序存储,即: DCBA   31 30    23 22                    0    |-|--------|-----------------------|   | |        |                       |    |-|--------|-----------------------|注: 尾数的存储位为23位,由于没有存储最高位的1,所以实际有效位为24位。如果其中20位都用来表示小数部分,能表示的最大值为0.999999    我们先不考虑逆序存储的问题,因为那样会把读者彻底搞晕,所以我先按照顺序的来讲,最后再把他们翻过来就行了。纯整数的表示方法 -------------------------------------------------     现在让我们按照IEEE浮点数表示法,一步步的将float型浮点数123456.0f转换为十六进制代码。在处理这种不带小数的浮点数时,直接将整数部转化为二进制表示:1 11100010 01000000也可以这样表示:1 11100010 01000000.0然后将小数点向左移,一直移到离最高位只有1位:1.11100010 01000000一共移动了16位,在布耳运算中小数点每向左移一位就等于在以2为底的科学计算法表示中指数+1,所以原数就等于这样 1 11100010 01000000 = 1.11100010 01000000 * (2^16)现在我们要的尾数和指数都出来了。显而易见,最高位永远是1,因为你不可能把买了16个鸡蛋说成是买了0016个鸡蛋吧?(呵呵,可别拿你买的臭鸡蛋甩我),所以这个1我们还有必要保留他吗?(众:没有!)好的,我们删掉他。这样尾数的二进制就变成了: 11100010 01000000 最后在尾数的后面补0,一直到补够23位: 11100010 01000000 0000000 (MD,这些个0差点没把我数的背过气去)    再回来看指数,一共8位,可以表示范围是0 ~ 255的无符号整数,也可以表示-128~127的有符号整数。但因为指数是可以为负的,所以为了统一把十进制的整数化为二进制时,都先加上127。    在这里,我们的16加上127后就变成了143,二进制表示为:10001111    123456.0f这个数是正的,所以符号位是0,那么我们按照前面讲的格式把它拼起来:0 10001111 11100010 01000000 0000000 再转化为16进制为:47 F1 20 00,最后把它翻过来,就成了: 00 20 F1 47 输出4个字节的浮点数内存数据 ------------------------------------------------- #include <stdio.h>int main(){    float f = 123456.0;    unsigned char * c = (char *)&f;    int i = 0;    for (i = 3; i >= 0; i--)        printf("%p/n", c[i]);}0x470xf10x20(nil) 整数 小数混合的表示方法 -------------------------------------------------     有了上面的基础后,下面我再举一个带小数的例子来看一下为什么会出现精度问题。    按照IEEE浮点数表示法,将float型浮点数123.456f转换为十六进制代码。对于这种带小数的就需要把整数部和小数部分开处理。整数部直接化二进制: 1111011。小数部的处理比较麻烦一些,也不太好讲,可能反着讲效果好一点,比如有一个十进制纯小数0.57826,那么5是十分位,位阶是1/10;7是百分位,位阶是1/100;8是千分位,位阶是1/1000 ...,这些位阶分母的关系是10^1、 10^2、 10^3...,现假设每一位的序列是{S1、 S2、 S3、 ...、 Sn},在这里就是5、 7、 8、 2、 6,而这个纯小数就可以这样表示:n = S1*(1/(10^1)) + S2*(1/(10^2)) + S3*(1/(10^3)) + ... + Sn*(1/(10^n))把这个公式推广到b进制纯小数中就是这样:n = S1*(1/(b^1)) + S2*(1/(b^2)) + S3*(1/(b^3)) + ... + Sn*(1/(b^n))    天哪,可恶的数学,我怎么快成了数学老师了!没办法,为了广大编程爱好者的切身利益,喝口水继续!现在一个二进制纯小数比如0.100101011就应该比较好理解了,这个数的位阶序列就因该是1/(2^1)、1/(2^2)、1/(2^3)、1/(2^4),即0.5、0.25、0.125、0.0625...。乘以S序列中的1或着0算出每一项再相加就可以得出原数了。现在你的基础知识因该足够了,再回过头来看0.456这个十进制纯小数,该如何表示呢?现在你动手算一下,最好不要先看到答案,这样对你理解有好处。    我想你已经迫不及待的想要看答案了,因为你发现这跟本算不出来!来看一下步骤:1/2^1位(为了方便,下面仅用2的指数来表示位),0.456小于位阶值0.5故为0;1/2^2位,0.456大于位阶值0.25,该位为1,并将0.456减去0.25得0.206进下一位;1/2^3位,0.206大于位阶值0.125,该位为1,并将0.206减去0.125得0.081进下一位;1/2^4位,0.081大于0.0625,为1,并将0.081减去0.0625得0.0185进下一位;1/2^5位0.0185小于0.03125,为0...。问题出来了,即使超过尾数的最大长度23位也除不尽!这就是著名的浮点数精度问题了。不过我在这里不是要给大家讲《数值计算》,用各种方法来提高计算精度,因为那太庞杂了,恐怕我讲上一年也理不清个头绪啊。我在这里就仅把浮点数表示法讲清楚便达到目的了。0.456    0.5 (1/2^1)   0.456   < 0.5      0      0.456-0.5*0      = 0.456   0.456    0.25(1/2^2)   0.456   > 0.25     1      0.456-0.25*1     = 0.2060.206    0.125         0.206   > 0.125    1      0.206-0.125*1    = 0.0810.081    0.0625        0.081   > 0.0625   1      0.081-0.0625*1   = 0.0165 0.0165   0.03125       0.0165 -< 0.03125 - 0      0.0165-0.03125*0 = 0.01650.0165   0.015625      0.0165 - > 0.015625 1      0.0165-0.015625*1= 0.000875    OK,我们继续。嗯,刚说哪了?哦对对,那个数还没转完呢,反正最后一直求也求不尽,加上前面的整数部算够24位就行了(最高位的1不存入内存):1111011. 011101001 01111001。某BC问:“不是23位吗?”我:“倒,不是说过了要把第一个1去掉吗?当然要加一位喽!”现在开始向左移小数点,大家和我一起移,众:“1、2、3...”好了,一共移了6位,6加上127得133(怎么跟教小学生似的?呵呵),二进制表示为:10000101,符号位为...再...不说了,越说越啰嗦,大家自己看吧:0 10000101 1110110111010010111100142 F6 E9 7979 E9 F6 42小数部分换算成二进制 ------------------------------------------------- #include <stdio.h>#include <math.h>int main(){    float f;    f = 0.456;    int i, j;    unsigned char c[23];    for (i = -1, j = 0; i >= -23; i--, j++) {        if (f > pow(2, i)) {            c[j] = 1;            printf("c[%d] = %d/n", j, c[j]);            f = f - pow(2, i);        }        else {            c[j] = 0;            printf("c[%d] = %d/n", j, c[j]);        }    }}纯小数的表示方法 -------------------------------------------------     下面再来讲如何将纯小数转化为十六进制。对于纯小数,比如0.0456,我们需要把他规格化,变为1.xxxx*(2^n)的型式,要求得纯小数X对应的n可用下面的公式:    n = int(-1+log(2)X);    0.0456我们可以表示为1.4592乘以以2为底的-5次方的幂,即1.4592*(2^-5)。转化为这样形式后,再按照上面第二个例子里的流程处理:1. 01110101100011100010001去掉第一个101110101100011100010001-5 + 127 = 1220 01111010 01110101100011100010001最后:11 C7 3A 3D另外不得不提到的一点是0.0f对应的十六进制是00 00 00 00,记住就可以了。将十进制的纯小数用二进制表示 ------------------------------------------------- #include <stdio.h>#include <math.h>int main(){    float f;    int i, j;    f = 0.0456;    i = (int)(-1 + log(f)/log(2));    f = f / pow(2, i);    f = f - 1;    unsigned char c[23];    for (i = -1, j = 0; i >= -23; i--, j++) {        if (f > pow(2, i)) {            c[j] = 1;            printf("%d", c[j]);            f = f - pow(2, i);        }        else {            c[j] = 0;            printf("%d", c[j]);        }    }    printf("/n");}01110101100011100010000为什么最后一位不一致! 是不是需要计算24位(011101011000111000100001),然后将最后一位进位!

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